1 Introduction 1
1.1 Example: Polynomial Curve Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Probability Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Probability densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Expectations and covariances . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Bayesian probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4 The Gaussian distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.5 Curve fitting re-visited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.6 Bayesian curve fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4 The Curse of Dimensionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5 Decision Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5.1 Minimizing the misclassification rate . . . . . . . . . . . . 39
1.5.2 Minimizing the expected loss . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.3 The reject option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.4 Inference and decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.5 Loss functions for regression . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6 Information Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.6.1 Relative entropy and mutual information . . . . . . . . . . 55
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 Probability Distributions 67
2.1 Binary Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1.1 The beta distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2 Multinomial Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.1 The Dirichlet distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3 The Gaussian Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3.1 Conditional Gaussian distributions . . . . . . . . . . . . . . 85
2.3.2 Marginal Gaussian distributions . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.3.3 Bayes’ theorem for Gaussian variables . . . . . . . . . . . . 90
2.3.4 Maximum likelihood for the Gaussian . . . . . . . . . . . . 93
2.3.5 Sequential estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.3.6 Bayesian inference for the Gaussian . . . . . . . . . . . . . 97
2.3.7 Student’s t-distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.3.8 Periodic variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.3.9 Mixtures of Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.4 The Exponential Family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.4.1 Maximum likelihood and sufficient statistics . . . . . . . . 116
2.4.2 Conjugate priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.4.3 Noninformative priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.5 Nonparametric Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.5.1 Kernel density estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.5.2 Nearest-neighbour methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3 Linear Models for Regression 137
3.1 Linear Basis Function Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.1.1 Maximum likelihood and least squares . . . . . . . . . . . . 140
3.1.2 Geometry of least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.1.3 Sequential learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.1.4 Regularized least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.1.5 Multiple outputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.2 The Bias-Variance Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.3 Bayesian Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.3.1 Parameter distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3.2 Predictive distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.3.3 Equivalent kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.4 Bayesian Model Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.5 The Evidence Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.5.1 Evaluation of the evidence function . . . . . . . . . . . . . 166
3.5.2 Maximizing the evidence function . . . . . . . . . . . . . . 168
3.5.3 Effective number of parameters . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.6 Limitations of Fixed Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4 Linear Models for Classification 179
4.1 Discriminant Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.1.1 Two classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.1.2 Multiple classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.1.3 Least squares for classification . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.1.4 Fisher’s linear discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.1.5 Relation to least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.1.6 Fisher’s discriminant for multiple classes . . . . . . . . . . 191
4.1.7 The perceptron algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.2 Probabilistic Generative Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.2.1 Continuous inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.2.2 Maximum likelihood solution . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.2.3 Discrete features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.2.4 Exponential family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.3 Probabilistic Discriminative Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.3.1 Fixed basis functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.3.2 Logistic regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.3.3 Iterative reweighted least squares . . . . . . . . . . . . . . 207
4.3.4 Multiclass logistic regression . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.3.5 Probit regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.3.6 Canonical link functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.4 The Laplace Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.4.1 Model comparison and BIC . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.5 Bayesian Logistic Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.5.1 Laplace approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.5.2 Predictive distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5 Neural Networks 225
5.1 Feed-forward Network Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.1.1 Weight-space symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.2 Network Training . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.2.1 Parameter optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.2.2 Local quadratic approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2.3 Use of gradient information . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.2.4 Gradient descent optimization . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.3 Error Backpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.3.1 Evaluation of error-function derivatives . . . . . . . . . . . 242
5.3.2 A simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.3.3 Efficiency of backpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.3.4 The Jacobian matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.4 The Hessian Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.4.1 Diagonal approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.4.2 Outer product approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.4.3 Inverse Hessian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.4.4 Finite differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.4.5 Exact evaluation of the Hessian . . . . . . . . . . . . . . . 253
5.4.6 Fast multiplication by the Hessian . . . . . . . . . . . . . . 254
5.5 Regularization in Neural Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5.5.1 Consistent Gaussian priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.5.2 Early stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.5.3 Invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.5.4 Tangent propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.5.5 Training with transformed data . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.5.6 Convolutional networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.5.7 Soft weight sharing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.6 Mixture Density Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.7 Bayesian Neural Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.7.1 Posterior parameter distribution . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.7.2 Hyperparameter optimization . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.7.3 Bayesian neural networks for classification . . . . . . . . . 281
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6 Kernel Methods 291
6.1 Dual Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.2 Constructing Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.3 Radial Basis Function Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.3.1 Nadaraya-Watson model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.4 Gaussian Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.4.1 Linear regression revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.4.2 Gaussian processes for regression . . . . . . . . . . . . . . 306
6.4.3 Learning the hyperparameters . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.4.4 Automatic relevance determination . . . . . . . . . . . . . 312
6.4.5 Gaussian processes for classification . . . . . . . . . . . . . 313
6.4.6 Laplace approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.4.7 Connection to neural networks . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
7 Sparse Kernel Machines 325
7.1 Maximum Margin Classifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.1.1 Overlapping class distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 331
7.1.2 Relation to logistic regression . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7.1.3 Multiclass SVMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
7.1.4 SVMs for regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.1.5 Computational learning theory . . . . . . . . . . . . . . . . 344
7.2 Relevance Vector Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
7.2.1 RVM for regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
7.2.2 Analysis of sparsity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
7.2.3 RVM for classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
8 Graphical Models 359
8.1 Bayesian Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
8.1.1 Example: Polynomial regression . . . . . . . . . . . . . . . 362
8.1.2 Generative models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
8.1.3 Discrete variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
8.1.4 Linear-Gaussian models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
8.2 Conditional Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
8.2.1 Three example graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
8.2.2 D-separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
8.3 Markov Random Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
8.3.1 Conditional independence properties . . . . . . . . . . . . . 383
8.3.2 Factorization properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
8.3.3 Illustration: Image de-noising . . . . . . . . . . . . . . . . 387
8.3.4 Relation to directed graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
8.4 Inference in Graphical Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
8.4.1 Inference on a chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
8.4.2 Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
8.4.3 Factor graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
8.4.4 The sum-product algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
8.4.5 The max-sum algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
8.4.6 Exact inference in general graphs . . . . . . . . . . . . . . 416
8.4.7 Loopy belief propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
8.4.8 Learning the graph structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
9 Mixture Models and EM 423
9.1 K-means Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
9.1.1 Image segmentation and compression . . . . . . . . . . . . 428
9.2 Mixtures of Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
9.2.1 Maximum likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
9.2.2 EM for Gaussian mixtures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
9.3 An Alternative View of EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
9.3.1 Gaussian mixtures revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
9.3.2 Relation to K-means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
9.3.3 Mixtures of Bernoulli distributions . . . . . . . . . . . . . . 444
9.3.4 EM for Bayesian linear regression . . . . . . . . . . . . . . 448
9.4 The EM Algorithm in General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
10 Approximate Inference 461
10.1 Variational Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
10.1.1 Factorized distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
10.1.2 Properties of factorized approximations . . . . . . . . . . . 466
10.1.3 Example: The univariate Gaussian . . . . . . . . . . . . . . 470
10.1.4 Model comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
10.2 Illustration: Variational Mixture of Gaussians . . . . . . . . . . . . 474
10.2.1 Variational distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
10.2.2 Variational lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
10.2.3 Predictive density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
10.2.4 Determining the number of components . . . . . . . . . . . 483
10.2.5 Induced factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
10.3 Variational Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
10.3.1 Variational distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
10.3.2 Predictive distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
10.3.3 Lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
10.4 Exponential Family Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
10.4.1 Variational message passing . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
10.5 Local Variational Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
10.6 Variational Logistic Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
10.6.1 Variational posterior distribution . . . . . . . . . . . . . . . 498
10.6.2 Optimizing the variational parameters . . . . . . . . . . . . 500
10.6.3 Inference of hyperparameters . . . . . . . . . . . . . . . . 502
10.7 Expectation Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
10.7.1 Example: The clutter problem . . . . . . . . . . . . . . . . 511
10.7.2 Expectation propagation on graphs . . . . . . . . . . . . . . 513
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
11 Sampling Methods 523
11.1 Basic Sampling Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
11.1.1 Standard distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
11.1.2 Rejection sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
11.1.3 Adaptive rejection sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
11.1.4 Importance sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
11.1.5 Sampling-importance-resampling . . . . . . . . . . . . . . 534
11.1.6 Sampling and the EM algorithm . . . . . . . . . . . . . . . 536
11.2 Markov Chain Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
11.2.1 Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
11.2.2 The Metropolis-Hastings algorithm . . . . . . . . . . . . . 541
11.3 Gibbs Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
11.4 Slice Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
11.5 The Hybrid Monte Carlo Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
11.5.1 Dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
11.5.2 Hybrid Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
11.6 Estimating the Partition Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
12 Continuous Latent Variables 559
12.1 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
12.1.1 Maximum variance formulation . . . . . . . . . . . . . . . 561
12.1.2 Minimum-error formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
12.1.3 Applications of PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
12.1.4 PCA for high-dimensional data . . . . . . . . . . . . . . . 569
12.2 Probabilistic PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
12.2.1 Maximum likelihood PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
12.2.2 EM algorithm for PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
12.2.3 Bayesian PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
12.2.4 Factor analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
12.3 Kernel PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
12.4 Nonlinear Latent Variable Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
12.4.1 Independent component analysis . . . . . . . . . . . . . . . 591
12.4.2 Autoassociative neural networks . . . . . . . . . . . . . . . 592
12.4.3 Modelling nonlinear manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . 595
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
13 Sequential Data 605
13.1 Markov Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
13.2 Hidden Markov Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
13.2.1 Maximum likelihood for the HMM . . . . . . . . . . . . . 615
13.2.2 The forward-backward algorithm . . . . . . . . . . . . . . 618
13.2.3 The sum-product algorithm for the HMM . . . . . . . . . . 625
13.2.4 Scaling factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
13.2.5 The Viterbi algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
13.2.6 Extensions of the hidden Markov model . . . . . . . . . . . 631
13.3 Linear Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
13.3.1 Inference in LDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
13.3.2 Learning in LDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
13.3.3 Extensions of LDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
13.3.4 Particle filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
14 Combining Models 653
14.1 Bayesian Model Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
14.2 Committees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
14.3 Boosting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
14.3.1 Minimizing exponential error . . . . . . . . . . . . . . . . 659
14.3.2 Error functions for boosting . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
14.4 Tree-based Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
14.5 Conditional Mixture Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
14.5.1 Mixtures of linear regression models . . . . . . . . . . . . . 667
14.5.2 Mixtures of logistic models . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
14.5.3 Mixtures of experts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
Appendix A Data Sets 677
Appendix B Probability Distributions 685
Appendix C Properties of Matrices 695
Appendix D Calculus of Variations 703
Appendix E LagrangeMultipliers 707
References 711